Сотрудники Лаборатории
теоретической физики ОИЯИ вывели наиболее общие формулы, которые
позволяют получать многопетлевые ренормгрупповые уравнения в произвольном
обобщении Стандартной модели (СМ) без необходимости явного расчета миллионов
диаграмм Фейнмана, возникающих в старших порядках теории возмущения.

Благодаря работе Большого
адронного коллайдера мы знаем, что Стандартная модель элементарных частиц
прекрасно описывает огромное количество процессов на масштабах энергий
доступных современным ускорителям. В Стандартной модели имеется восемнадцать
параметров, описывающих взаимодействия фермионов (кварков и лептонов), векторных
(фотон, W/Z-бозоны) и скалярных (хиггс) бозонов. Например, среди них –
«константа» сильного взаимодействия, определяющая эффективную силу
взаимодействия кварков и антикварков. Или хорошо известная электромагнитная
константа, связанная с электрическим зарядом. Задав их, или лучше сказать
измерив, можно делать предсказания.

Однако, ученые уже много
лет ищут сигналы новой физики за пределами Стандартной модели. Теоретики
пытаются построить обобщения CМ, а экспериментаторы стремятся найти следы новых
частиц и выявить новые взаимодействия.

Если вы расширяете СМ, то
добавляете новые параметры. Например, можно предположить существование более
тяжелого аналога Z-бозона, взаимодействие которого с другими частицами задается
новой калибровочной «константой» (обычно обозначаются как g). Или добавить
несколько бозонов Хиггса, взаимодействие которых друг с другом, а также с
кварками и лептонами будет задаваться «константами» самодействия (L) и
Юкавскими «константами» (y), соответственно.

«Часто важно
понять, что происходит с моделью, если попытаться экстраполировать ее в область
больших энергий, не доступных современным (и возможно даже будущим)
ускорителям. Или, наоборот, задав модель Новой физики на очень высоком масштабе
энергий (обычно предполагается, что в этом случае модель обладает большей
симметрией, чем СМ), интересно понять, какие отклонения от предсказаний СМ
можно измерить в экспериментах», – рассказал Александр Бедняков,
начальник сектора квантовой теории поля ЛТФ ОИЯИ, один из авторов работы.

Рис. 1.
Зависимость констант связи от масштаба: от Стандартной модели к возможной
физике за ее пределами (BSM).

«Ренормгрупповые
уравнения показывают, как, благодаря рождению виртуальных частиц, происходит
экранировка или антиэкранировка зарядов при изменении энергетического масштаба
(ꓩ). Такого рода эффекты имеют универсальную природу, и мы пытаемся учитывать их
в наших расчетах. Каждая новая петля соответствуют рождению и поглощению какой-то
виртуальной частицы. Чем сложнее модель, тем мы больше имеем различных
вариантов», – пояснил Александр.

Он добавил, что для того,
чтобы найти зависимость «зарядов» от масштаба в конкретной модели необходимо
проводить трудоемкие вычисления диаграмм Фейнмана.

Выполненные в ходе работы
сложные вычисления были преобразованы в формулы, представляющие собой
достаточно простые дифференциальные уравнения. Задав значения параметров (силу
взаимодействия) на одном масштабе, можно найти их значения на другом масштабе. На
Рис. 2 схематично показаны полученные в цикле работ наиболее общие
ренормгрупповые уравнения для калибровочных, юкавский «констант», а также для
самодействия скалярных бозонов. Видно, что число слагаемых в формулах растет
вместе с порядком теории возмущений. Каждое слагаемое можно представить в виде
диаграммы Фейнмана, где сплошные линии соответствуют фермионам, волнистые –
калибровочным бозонам, а пунктирные – скалярным частицам.

Рис. 2. Общие
ренормгрупповые уравнения для калибровочных, юкавский «констант» и для
самодействия скалярных бозонов.

Готовые уравнения удобны
тем, что все расчеты сложных интегралов, соответствующих диаграммам, уже
проведены. Достаточно лишь задать модель, т. е. перечислить все частицы и
выписать лагранжиан – функцию, описывающую их квантовые числа и взаимодействия.

Эти уравнения могут также
применяться неспециалистами в петлевых вычислениях: например, их могут
использовать физики-теоретики для анализа Новой физики. Также эти готовые
формулы находят свое применение в физике конденсированного состояния – в теории
фазовых переходов второго рода для расчета различных критических индексов. Этот
результат был отмечен как один из самых ярких, полученных ЛТФ ОИЯИ
в 2021 году. Авторы цикла работ, посвященных этой тематике, Александр
Бедняков и Андрей Пикельнер, были удостоены первой Премии
ОИЯИ за 2021 год в категории «За научно-исследовательские
теоретические работы».

«Другой важный
результат цикла тесно связан с квантовой хромодинамикой (КХД), описывающей
кварки, глюоны и их взаимодействия. Мы верим, что квантовая хромодинамика
должна работать как при больших, так и при малых энергиях», – продолжил Александр.

На больших расстояниях
взаимодействие между кварками становится настолько сильным, что использование
стандартной теории возмущений затруднено. На помощь приходят компьютерные
вычисления на дискретной евклидовой пространственно-временной решетке. Такими
расчетами занимается, в частности, коллаборация High Precision QCD (Quantum
chromodynamics), в которую входят физики-теоретики научных центров Америки,
Англии, Италии, Японии, Испании. Среди всего прочего они извлекают из
решеточных данных ключевые параметры КХД – массы кварков и постоянную сильного
взаимодействия.

«Можно взять
массу кварка или константу сильного взаимодействия измеренные при высоких
энергиях и сравнить ее с тем, что извлекают на решетке. Если сходится – это
означает, что квантовая хромодинамика „работает”. Если не сходится – возникает
вопрос: надо ли модифицировать модель или всего лишь улучшить точность теоретических
расчетов. Часто именно высокая точность позволяет найти небольшие отклонения –
возможные признаки Новой физики», – прокомментировал исследователь.

Важным нюансом здесь
является то, что ту величину, которую извлекают из решеточных данных, часто
нельзя непосредственно сравнивать с аналогичной, но используемой в физике
высоких энергий.

«Этот произвол
„заложен” в теорию перенормировок, но мы можем его контролировать в рамках
теории возмущений. Именно такого рода пересчетные формулы и были найдены нами в
трехпетлевом приближении. Нам очень приятно, что наши расчеты были
незамедлительно использованы коллаборацией HPQCD для нового рекорда точности в
определении массы очарованного кварка», – подытожил Александр Бедняков.

Ключевые результаты работ
представляют сами ученые.

Новая эра ренормгрупповых вычислений в
ЛТФ: современные методы, инструменты и последние достижения

Метод ренормализационной
группы (РГ) позволяет систематически улучшать точность расчетов в теории
возмущений. Ключевую роль в нем играют ренормгрупповые функции, задающие отклик
различных величин на изменение масштаба. Их расчет является отдельной задачей и
представляет собой одну из наиболее трудоемких и технически сложных частей РГ
анализа.

В представленном цикле
работ обсуждаются различные аспекты многопетлевых расчетов, а также последние
достижения, связанные с обобщением недавних рекордных вычислений в СМ и φ4 на
случай произвольных кванто-полевых моделей.

В рамках наиболее общей
перенормируемой теории в четырех измерениях впервые были выведены формулы для
бета-функций калибровочных и юкавских констант взаимодействия в четырех и трех
петлях, соответственно [1]. Оригинальность используемого подхода состоит в том,
что рассматривались простые игрушечные теории и с их помощью фиксировались
модельно независимые коэффициенты в выражениях для РГ функций, минуя трудоемкие
и громоздкие вычисления. Благодаря нашим расчетам стало возможно провести РГ
анализ произвольной модели Новой физики на новом уровне точности без
необходимости явного диаграммного счета и процедуры перенормировки. В качестве
приложения найденных формул нами были выведены четырехпетлевые бета-функции
всех калибровочных констант в СМ, а также в ее обобщении с несколькими
хиггсовскими дублетами. Кроме того, впервые были получены шестипетлевые
выражения для РГ функций как безразмерных, так и размерных параметров наиболее
общего варианта теории φ4 [2]. Одним из возможных применений этого результата
является изучение классов универсальности в теории критического поведения,
соответствующих различным симметриям и различным параметрам порядка.

Важным шагом на пути к
указанным результатам являются расчеты в рамках конкретных физических моделей.
В частности, существенное влияние на дальнейшие исследования оказало вычисление
четырехпетлевых электрослабых вкладов в бета-функцию сильной константы связи в
СМ [3]. Благодаря тщательному анализу неопределенностей, возникающих при
наивном подходе к размерной регуляризации киральных теорий, был получен ответ,
подтвержденный впоследствии независимым вычислением и обобщенный в дальнейшем
на случай произвольной теории поля [Poole&Thomsen (2019)]. Также был
рассмотрен скалярный сектор простейшего расширения СМ с дополнительным
хиггсовским дублетом [4] и найдены соответствующие РГ функции на уровне трех
петель. Одним из побочных результатов расчета оказалось исправление опечаток в
работах 80-х годов, повсеместно используемых в компьютерных кодах для анализа
Новой физики.

Другим приоритетным
результатом является вывод трехпетлевых формул, позволяющих связать
непертурбативные расчеты на решетке с ключевыми параметрами КХД (сильной
константой связи [5] и массами кварков [6]), используемыми при вычислении
наблюдаемых в коллайдерных экспериментах. Для этих целей впервые с помощью
оригинальных идей было проведено трудоемкое аналитическое вычисление
трехпетлевых вершинных функций [7] в симметричной кинематике. Актуальность
расчета подтверждается тем, что полученный результат [6] был немедленно
использован коллаборацией HPQCD для улучшения точности решеточного вычисления
массы очарованного кварка.

Современные расчеты в старших
порядках возмущения немыслимы без автоматизации и применения новых подходов и
алгоритмов для вычисления диаграмм Фейнмана. В работах цикла был разработан
оптимизированный публично доступный код для расчета четырехпетлевых вакуумных
диаграмм [8]. Он позволил в дальнейшем осуществить нетривиальное вычисление
контрчленов для всех пятипетлевых диаграмм, необходимых для вывода РГ функций
скалярных моделей в шестимерии [9], открыв тем самым новые возможности для РГ
анализа в пространстве высших размерностей.

Отметим также, что
особенностью представленного цикла работ является востребованность результатов
в разных областях современной физики. Нам удалось выйти за пределы стандартных
подходов и разработать необходимый набор инструментов, позволяющий неспециалистам
в многопетлевых вычислениях использовать ренормгрупповой метод для получения
важных физических результатов.

Лаборатория теоретической
физики им. Н. Н. Боголюбова имеет давнюю и богатую историю подобного рода
вычислений. Начиная с основополагающих работ Н. Н. Боголюбова и Д.
В. Ширкова, РГ метод и связанные с ним расчеты многопетлевых диаграмм
Фейнмана на протяжении многих лет использовались в ОИЯИ для получения
результатов мирового уровня. Среди них можно отметить широко известные работы,
посвященные вычислениям в скалярной φ4 и квантовой хромодинамике (КХД). Что
касается Стандартной модели (СМ), то большой резонанс в литературе вызвали
недавние расчеты трехпетлевых РГ функций. После измерения массы бозона Хиггса в
2012 г. они позволили провести наиболее полный и самосогласованный анализ
проблемы стабильности вакуума, повлекший за собой бурные дискуссии о возможной
нестабильности СМ и необходимости введения Новой физики.

Источник: ОИЯИ.